Александр Шахов родился 4 мая 1973 года в городе Джалал-Абаде Киргизской ССР. В 1997 году окончил Сибирскую коммерческую академию потребительской кооперации по специальности «Экономика и управление на предприятии».

Трудовую деятельность начал в 1991 году электрослесарем Читинского электромеханического завода. С 1992 по 1994 годы работал электромехаником на предприятии «Читаавиа». В 1994 году перешел на службу в налоговые органы Российской Федерации, где занимал различные должности от государственного налогового инспектора до заместителя начальника межрайонной инспекции Федеральной налоговой службы России № 2 по городу Чите. С июня 2019 года по март 2020 года работал индивидуальным предпринимателем. С апреля 2020 года исполнял обязанности заместителя министра сельского хозяйства Забайкальского края.

Женат, воспитывает сына и дочь.